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Le 5 juillet 2021

Soutenance de thèse de Pierre-Cyril AUBIN

Estimation et pilotage sous contraintes par méthodes à noyaux

Résumé de la thèse en français

Les contraintes d'état et de forme ponctuelles en théorie du contrôle et en estimation non-paramétrique sont difficiles à traiter car elles impliquent souvent un problème d'optimisation convexe avec un nombre infini de contraintes d'inégalité. La satisfaction de ces contraintes est essentielle dans de nombreuses applications, telles que la planification de trajectoires ou la régression quantile jointe. Les noyaux reproduisants sont un choix propice aux évaluations ponctuelles. Cependant les théorèmes de représentation qui en sous-tendent les applications numériques ne peuvent pas être appliqués à un nombre infini d'évaluations. Par des arguments algébriques et géométriques constructifs, nous prouvons qu'un nombre infini de contraintes affines à valeur réelle sur les dérivées des fonctions peut être surcontraint par un nombre fini de contraintes coniques du second ordre si l'on considère des espaces de Hilbert à noyau reproduisant de fonctions à valeurs vectorielles. Nous montrons que le contrôle optimal linéaire-quadratique (LQ) sous contraintes d'état est une régression sous contrainte de formes sur l'espace de Hilbert de trajectoires contrôlées linéairement. Cet espace est défini par un noyau LQ explicite lié à la matrice de Riccati. L'efficacité de notre approche est illustrée par divers exemples issus de la théorie du contrôle linéaire et de l'estimation non-paramétrique. Enfin, nous fournissons quelques résultats pour des inclusions différentielles générales dans des problèmes de temps minimal et d'identification du graphe de la correspondance. Surtout nous faisons ressortir un lien nouveau entre méthodes à noyaux et contrôle optimal en identifiant le noyau hilbertien des espaces de trajectoires contrôlées linéairement.

Résumé de la thèse en anglais

Pointwise state and shape constraints in control theory and nonparametric estimation are difficult to handle as they often involve convex optimization problem with an infinite number of inequality constraints. Satisfaction of these constraints is critical in many applications, such as path-planning or joint quantile regression. Reproducing kernels are propitious for pointwise evaluations. However representer theorems, which ensure the numerical applicability of kernels, cannot be applied for an infinite number of evaluations. Through constructive algebraic and geometric arguments, we prove that an infinite number of affine real-valued constraints over derivatives can be tightened into a finite number of second-order cone constraints when looking for functions in vector-valued reproducing kernel Hilbert spaces. We show that state-constrained Linear-Quadratic (LQ) optimal control is a shape-constrained regression over the Hilbert space of linearly-controlled trajectories defined by an explicit LQ kernel related to the Riccati matrix. The efficiency of the developed approach is illustrated on various examples from both linear control theory and nonparametric estimation. Finally, we provide some results for general differential inclusions in minimal time problems and identification of the graph of the set-valued map. Most of all we bring to light a novel connection between reproducing kernels and optimal control theory, identifying the Hilbertian kernel of linearly controlled trajectories.

Titre anglais : Estimation and control under constraints through kernel methods
Date de soutenance : lundi 5 juillet 2021 à h00
Adresse de soutenance : 60 Boulevard Saint-Michel, 75272 Paris - à venir
Directeur de thèse : Nicolas PETIT